외적 (Outer Product / Cross Product)

외적은 내적과 달리 벡터를 결괏값으로 가지는 연산이며, 외적은 오직 3차원 벡터에 대해서만 정의된다.

두 3차원 벡터 u와 v의 외적을 취하면 u와 v에 모두 직교인 벡터 w가 나온다. u = (u_x, u_y, u_z), v=(v_x, v_y, v_z)라고 할 때, 둘의 외적은 다음과 같이 정의된다.

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w = u × v = (u_yv_z - u_zv_y, u_zv_x - u_xv_z, u_xv_y - u_yv_x)

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잠시 예를 들어보자.

u = (2, 1, 3) , v = (2, 0, 0) 일 때, w = u × v와 z = v × u를 계산해보자.

 

w = u × v

   = (2, 1, 3) × (2, 0, 0)

   = (1*0 - 3*0 , 3*2 - 2*0 , 2*0 - 1*2)

   = (0, 6, -2)

 

z = v × u

  = (2, 0, 0) × (2, 1, 3) 

  = (0*3 - 0*1, 0*2 - 2*3, 2*1 - 0*2)

  = (0, -6, 2)

 

이렇게 서로 다른 결과가 나온다. 이로써 외적은 "교환 법칙"이 성립하지 않는다.

u × v ≠ v × u 이므로 이에 대한 역 u × v = - v × u이라는 점도 증명된다.

 

외적을 통해서 나오는 벡터는 기하학적으로 벡터 u, v가 포함된 평면상의 직교인 벡터가 나온다.

 

u, v 를 모두 직교하는 벡터 w가 외적의 결과다.

특별한 경우를 제외하고는 2차원에서는 두 벡터에 수직인 벡터가 존재하지 않는다. 그러나 하나의 2차원 벡터 u=(u_x, u_y)에 수직인 벡터 v는 얼마든지 구할 수 있으며, 그런 벡터가 유용하게 쓰일 수 있다. 이러한 2차원 유사 외적(Pseudo 2D Cross Product)을 아래 그림처럼 나타낸다.

 

벡터 u의 2차원 유사 외적을 구하면 u에 직교인 v가 나온다.

 

2차원 유사 외적은 벡터 u = (u_x, u_y) 에 대하여 v = (-u_y, u_x)이다. 이를 증명하는 방법은 u, v의 내적이 0이 나온다면 직교한다는 점을 이용하면 된다.

 

$$u\cdot v=(u_x,u_y)\cdot(-u_y, u_x)=-u_xu_y + u_yu_x = 0$$

 

이므로 u ⊥v 이다. 마찬가지로 u · -v도 직교라는 점도 알고 있어야 한다.